Bộ Giáo dục và Đào tạo - Dự án Phát triển Giáo dục THPT
PT đường tròn
Phương trình:
Trên mặt phẳng toạ độ, cho đường tròn (C) tâm latex(I(x_0; y_0) và bán kính R. Điểm M(x; y) thuộc đường tròn (C) latex(harr) IM = R hay: latex(sqrt((x-x_o)^2+(y-y_o)^2)) = R latex((x_M - x_0)^2 + (y_M - y_0)^2) = latex(R^2) (1) Phương trình (1) là phương trình đường tròn (C) Ví dụ:
Ví dụ: Đường tròn (C) có tâm I (1,1) bán kính R = 3cm Đường tròn (C) có phương trình là: latex((x-1)^2+(y-1)^2=9) * Hãy viết phương trình đường tròn có tâm là gốc toạ độ O và có bán kính là R Bài tập 1: Bài tập 1
Cho hai điểm P(-2; 3) và Q(2; -3) a/ Hãy viết phương trình đường tròn tâm P và đi qua Q. b/ Hãy viết phương trình đường tròn đường kính PQ. Bài giải: a/ Đường tròn tâm P và đi qua Q nên nhận PQ làm bán kính R latex(R^2 = PQ^2=(2-(-2))^2 + (-3-3)^2 = 4^2 + (-6)^2 = 16 + 36 = 52 Phương trình đường tròn tâm P bán kính PQ có dạng: latex((x + 2)^2 + (y - 3)^2) = 52 b/ Đường tròn đường kính PQ nhận trung điểm I của PQ làm tâm và có bán kính R = latex((PQ)/2) latex(R^2 = (PQ^2)/4 = 52/4 = 13 Toạ độ tâm I: latex(x_I = (-2 + 2)/2 = 0; y_I = (3 - 3)/2 = 0 Phương trình đường tròn đường kính PQ có dạng: latex(x ^2 + y ^2) = 13 Hình vẽ minh họa BT1a: Minh họa bài tập 1a
Cho hai điểm P(-2; 3) và Q(2; -3) Đường tròn tâm P và đi qua Q có tâm P(-2; 3) và bán kính là R = latex(sqrt(52) Phương trình đường tròn có dạng: latex((x + 2)^2 + (y - 3)^2) = 52 Hình vẽ minh họa BT1b:
Cho hai điểm P(-2; 3) và Q(2; -3) Đường tròn đường kính PQ có tâm I(0; 0) và bán kính R = latex(sqrt(13 Phương trình đường tròn có dạng: latex(x ^2 + y ^2) = 13 Nhận dạng PT đường tròn
Nhận dạng: Nhận dạng phương trình đường tròn
Biến đổi phương trình (1): latex((x_M - x_0)^2 + (y_M - y_0)^2) = latex(R^2) về dạng: latex(x^2 + y^2 - 2x_0x - 2y_0y + x_0^2 + y_0^2 -R^2 = 0 Đặt: latex(-x_0 = a; -y_0 = b; x_0^2 + y_0^2 -R^2 = c Phương trình có dạng: latex(x^2 + y^2 + 2ax + 2by + c = 0 (2) Mọi phương trình có dạng (2) có phải là phương trình đường tròn không? Mô tả:
Phương trình có dạng: latex(x^2 + y^2 + 2ax + 2by + c = 0 (2) Với giá trị nào của c thì phương trình trên là phương trình của đường tròn? Vậy: với latex(a^2 + b^2 > c) thì phương trình (2) là phương trình đường tròn. (Chỏ vào mũi tên để chọn các giá trị) Kết luận:
Có: latex(x^2 + y^2 + 2ax + 2by + c = 0 (2) Phương trình (2) được biến đổi về dạng: latex((x + a)^2 + (y + b)^2 = a^2 + b^2 -c Với điều kiện: latex(a^2 + b^2 > c) Thì phương trình (2) là phương trình đường tròn tâm I(-a; -b), bán kính R = latex(sqrt(a^2 + b^2 -c Bài tập 2: Bài tập 2
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đương tròn:
latex(x^2+y^2-1=0
latex(3x^2 + 3y^2 + 2003x - 17y = 0
latex(x^2 - y^2 -2x - 6y - 103 = 0
latex(x^2 + y^2 + x/sqrt2 + sqrt3 = 0
latex(x^2 + y^2 -0,14x + 5sqrt(2)y - 7 = 0
PT tiếp tuyến của đường tròn
Số tiếp tuyến đi qua một điểm:
Cho đường tròn có phương trình: latex((x + 1)^2) + latex((y - 3)^2) = 9 Với vị trí nào của điểm M thì ta có thể vẽ hai tiếp tuyến, một tiếp tuyến, hoặc không có tiếp tuyến nào? Nhận xét: * Nếu M ở ngoài đường tròn ta có thể vẽ được hai tiếp tuyến với đường tròn. * Nếu M ở trên đường tròn ta có thể vẽ một tiếp tuyến với đường tròn. * Nếu M ở trong đường tròn thì không vẽ được tiếp tuyến nào với đường tròn. (Dùng chuột kéo và di chuyển điểm A để xác định số tiếp tuyến) Bài tập 3: Bài tập 3
Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn: (C): latex((x-2)^2 + (y+3)^2 = 1 biết rằng tiếp tuyến đó đi song song với đường thẳng (d):latex(3x - y + 2 = 0). Bài giải: * Xác định tâm và bán kính của đường tròn (C) * Xác định phương trình đường thẳng latex(Delta) song song với đường thẳng (d) * Để latex(Delta) là tiếp tuyến của đường tròn thì latex(d(I,Delta)=R) Kết quả: phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) là: latex(3x - y - 9 + sqrt10 = 0 và latex(3x - y - 9 - sqrt10 = 0 Hình vẽ minh hoạ BT3:
(C): latex((x-2)^2 + (y+3)^2 = 1 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) song song với đường thẳng (d): 3x - y + 2 = 0 là: (latex(Delta_1)): 3x - y - 9 + latex(sqrt10 = 0 (latex(Delta_2)): 3x - y - 9 - latex(sqrt10 = 0 Bài tập 4: Bài tập 4
Cho đường tròn (C): latex(x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0) và điểm M(4; 2) a/ Chứng tỏ rằng: điểm M nằm trên đường tròn đó. b/ Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M. Bài giải: a/ Thay toạ độ điểm M vào phương trình đường tròn (C) để kiểm tra b/ * Tìm tâm và bán kính đường tròn (C) * Tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M là đường thẳng đi qua M và vuông góc với IM, nên nhận latex(vec(IM)) là vectơ pháp tuyến từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến tại M có dạng: 3(x - 4) + 4(y - 2) = 0 hay 3x + 4y - 20 = 0 Hình vẽ minh hoạ BT4:
Cho đường tròn (C): latex(x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0) và điểm M(4; 2) Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R = 5. Tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M có phương trình: 3x + 4y - 20 = 0 Luyện tập
Bài tập 5: Bài tập 5
Điền vào "..." để được được câu đúng:
a/ R = ||5|| là bán kính đường tròn đi qua ba điểm: (0; 5), (3; 4), (-4; -3) b/ Với m = ||15; -15|| thì đường thẳng 4x + 3y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn có tâm (0; 0) và bán kính R = 3. c/ Phương trình đường thẳng: ||3x - y + 10 = 0, 3x - y - 10 = 0|| là tiếp tuyến song song với đường thẳng 3x - y + 17 = 0 của đường tròn có tâm (0; 0) và bán kính R =10 Bài tập 6: Bài tập 6
Mỗi câu sau đúng hay sai: Đường tròn có phương trình:
latex(x^2+y^2-1=0) không tiếp xúc với trục tung
latex(x^2+y^2-6x=0) tiếp xúc với đường thẳng y - 2 = 0
latex(x^2+y^2+6x+5y+9=0) tiếp xúc với trục hoành